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En mathématiques, une partie relativement compacte d'un espace topologique X est un sous-ensemble Y de X inclus dans une partie compacte de X (pour la topologie induite). Rappelons que dans la littérature française, un compact est supposé séparé. Si X est séparé, alors une partie de X est relativement compacte (si et) seulement si son adhérence est compacte.

Démonstration

$(\Rightarrow )$ : On suppose X séparé. Soit K une partie compacte de X telle que Y ⊆ K. Toute partie compacte d'un espace séparé est fermée (c'est un corollaire du lemme du tube) donc Fille V Manches Blouse Décontracté Shirt Top Débardeurs Dentelle Été Manche Col sans Violet Élégant Haut sans en Internet Chic T Chemise Blouse Tank Femmes Top K est un fermé de X.

L'adhérence de Y est notée Y. On a Y ⊆ Y et — puisque K est fermé — Y ⊆ K. Or toute partie fermée d'un compact est compacte, donc Y est compact.

$(\Leftarrow )$ : Immédiat (et encore vrai si X n'est pas séparé).

Dans un espace métrisable X, une partie Y est relativement compacte si et seulement si toute suite dans Y possède une sous-suite qui converge dans X.

Une partie d'un espace métrique complet est relativement compacte si et seulement si elle est précompacte.

En particulier Toile Simple Femme GWQGZ Main Sac Décontracté en Sac Unique Mode Joker pour À À Bandoulière qBX64, les parties relativement compactes sont les parties bornées.

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